Сайт "Аналитика"

ведёт Лариса Володимерова
 

Абрам СОЛОМОНИК
Синтаксис и однородность знаков в системе

 

На написание данного очерка меня подвигнул вопрос, поднятый великим французским математиком Анри Пуанкаре. В период его наибольшей активности, на рубеже XIX и ХХ веков, Пуанкаре считался наравне с Давидом Гильбертом ведущим математиком, задававшим тон как в самой этой науке, так и в философских вопросах, с нею связанных. Когда разразилась буря по поводу разработанной Георгом Кантором теории множеств, заложивших основу современной математической логике, он занял крайнюю позицию, оппонировавшую Кантору и всем тем, кто выступал в его защиту и осмеливался продолжать его разработки (в частности, Фреге и Расселу).  Все это направление Пуанкаре считал как бы «от лукавого», не принадлежащим математике и вредным. По этому поводу Пуанкаре однажды сказал: «Придет время, когда теория множеств (Кантора) будет вспоминаться как болезнь, от которой удалось излечиться». Он же резко критиковал трехтомный  труд Рассела и Вайтхеда “Принципы математики” (Principia Mathematica), в частности заявляя: «Трудно понять, какие преимущества приобретает значок כ по сравнению со словом ‘если’, выражая с последним одинаковое значение».[1]  

Это последнее замечание и вызвало у меня желание высказаться по поводу позиции А. Пуанкаре. На самом деле, почему надо было обозначать слово “если” каким-то значком, когда оно (это слово) прекрасно выражало заложенный в нем смысл? И почему все-таки новый значок прижился в логике? Только ли потому, что его легче писать, или он добавляет какой-то дополнительный оттенок к прежнему значению? Мне представляется, что ответы на эти вопросы могут нести в себе  большой семиотический смысл, хотя ответить на них вовсе не так просто, как кажется с первого взгляда. Для меня именно в этой точке сходятся многие «силовые линии семиотики», связанные с квантом абстракции знаков и желательной однород­­ностью знаков, собираемых в одну систему.

Чтобы ответить на поставленные выше вопросы, давайте посмотрим, как исторически развивались некоторые знаковые системы. Возьмем в качестве примера такую последовательность: развитие алфавитного письма, запись натурального ряда чисел, алгебраическую символику и символику математической логики, по поводу которой А. Пуанкаре разразился приведенным выше неодобрительным высказыванием. Мне кажется, что эти системы как-то надстраиваются друг над другом, что их последовательное изобретение и настройка отражают стремление людей получить в свое распоряжение все более мощные орудия для анализа окружающей действительности. Поэтому история их происхождения и развития может в какой-то мере прояснить нашу проблему.

 

Как создавались значки алфавитов?

 

Алфавиты, как известно, являются последней стадией и завершением усилий по нахождению наиболее эффективной записи человеческой речи и человеческих размышлений. Устная речь были в ходу задолго до изобретения алфавитного, да и любого другого письма. Если говорить о системах записи в их исторической последовательности, то сначала было рисованное письмо (пиктограммы), потом иероглифическое и лишь потом наступила эпоха алфавитного письма. Множество стадий, предшествовавших изобретению алфавитов я здесь опускаю, хотя они тоже крайне интересны с точки зрения постепенного приближения знаков для письма к оптимальному варианту. В конце концов, люди пришли к убеждению, что алфавиты наилучшим образом отвечают этой задаче. Каждая нация выбрала себе свой алфавит и дальше не пошла, хотя попытки улучшения самой системы в рамках принятого алфавита предпринимаются безостановочно (и будут предпри­ниматься  на протяжении всей истории того или иного народа).

В основе самой идеи алфавита лежит простая мысль, что каждый звук данного языка должен записываться своим особым значком. Но сами эти понятия ‘звук’, с одной стороны, и его ‘запись отдельным значком’, с другой, настолько сложны, что едва ли поддаются реализации, способной удовлетворить всех пользователей языка. Тем не менее, сейчас нас занимает вопрос, как произошли буквы самых первых алфавитов из известных нам сегодня. Наиболее разработанным этот вопрос можно считать для семитского алфавита, используемого в наше время евреями и некоторыми другими народами. Буквы семитского алфавита (по крайней мере те из них, происхождение которых достаточно выяснено) произошли из рисунков тех предметов, названия которые начинались на звук, коим данная буква обычно произносится. א – первая буква ивритского алфавита – появилась из рисунка головы быка, имя которому было как и название буквы [áлеф]. Вторая буква ב [бет] – редуцированное изображение домика (на иврите – бáит). Вначале эти буквы изображались как бы рисунками соответствующих предметов, а потом в процессе скорописи они редуцировались до сегодняшнего вида.

Вот как этот процесс описан в Электронной энциклопедии “Кругосвет”: «Северно-семитская система содержала 22 знака, и существовал фиксированный порядок, в котором буквы могли заучиваться наизусть и перечисляться. Известно, что этот порядок является очень древним признаком семитского письма, потому что уцелели отрывки ранних семитских азбук, относящиеся по крайней мере к VI в. до н. э. В дальнейшем этот порядок букв был без существенных изменений перенесен на греческий алфавит, а также отразился в еще более ранней угаритской «клинописи».

У каждой буквы северно-семитского письма есть свое имя. В каждом случае первый звук этого имени – тот же, что обозначается данной буквой, а некоторое число букв имело в семитском письме специальное значение. Так, если мы возьмем, например, первые четыре буквы, то алеф означало также 'бык', бет – также 'дом', гимел, по-видимому, 'верблюд', а далет – 'дверь'. Некоторые ученые полагают, что эти буквы имели первоначально рисуночную форму, но позднее стали обозначать лишь первый звук соответствующего слова. Другие полагают, что формы букв были условными, а имена были подобраны позднее таким образом, чтобы их первый звук мнемонически соотносился с соответствующей буквой и помогал ее запомнить, примерно как в наших азбуках “А – арбуз, Б – барабан”».[2]

Таким образом, согласно принятым в палеографии (науке, изучающей древние надписи) воззрениям, первые алфавиты основывались на рисунках, которые фактически были буквами. Каждый рисунок обозначал слово, начинавшееся звуком, который, в конечном счете, закреплялся за данной «буквой». И произносился именно этот первый звук, а не целое слово. Своего рода ребусы. Впоследствии рисунки упрощаются и принимают форму сегодняшних букв, а каждой букве начинает соответствовать ее собственное произношение. Бывший рисунок головы быка становится буквой “алеф”, за которой закрепляется первое место в ивритском алфавите и которая произносится, допустим, как звук [а]. Этим примером начинается в данном очерке целая серия демонстраций того, что люди для выбора подходящих знаков в новой системе (в данном случае – алфавитного письма) по привычке обращаются к знакам старой и укоренившейся системы (в данном случае – рисованного письма). Потом, уже в ходе использования системы, они обнаруживают, что выбранные ими знаки избыточны и избавляются от элементов, не необходимых для данных знаков. В дальнейшем мы убедимся, что подобный алгоритм отбора знаков для новых систем является правилом, а не исключением.

 

 

Но такой алгоритм отбора знаков используется лишь в самом начале пути. Уже в основу создания алфавитов для других языков, существовавших параллельно с языком, для которого алфавит был создан раньше, применяется усложненная процедура заимствования. Заимствуются не только идея, но и наиболее эффективные пути ее реализации. Это особенно легко показать на древнегреческом алфавите, который был создан «с оглядкой» на уже существовавший семитский алфавит. Что греческий алфавит взял за основу семитский вариант, ясно из сравнения некоторых букв обоих алфавитов:

 

 

  Греческие буквы   

  Их название  

  Их произношение   

 Соответствующие буквы на иврите  

А α

альфа

[a]

א (алеф)

В β

вита

[в]

ב (бейт)

Г γ

гамма

[г]

ג (гимел)

Δ δ

дельта

[д]

ד (далет)

Λ λ

ламда

[л]

ל (ламед)

Μ μ

ми

[м]

מ (мем)



Однако на этом фундаменте выстраиваются совершенно другой фасад и иная структура здания. Возникают новые буквы для звуков, которых нет в иврите, но зато есть в греческом (например ξ = кси, или ψ = пси). Если в семитском алфавите нет букв для гласных звуков (их нет и сейчас, и гласные звуки выражаются так называемой “огласовкой”), то в древнегреческом алфавите появляются буквы для гласных звуков. Но самое главное – буквы изначально создаются именно как буквы, а не в виде слов, в которых читается лишь первый звук. Из Греции алфавит попадает в Древний Рим, где, опять-таки, латиница создается вроде бы по греческому образцу, но на совершенно иной фонетической основе. Проникает он в славянские и другие страны. И везде мы видим один и тот же образец: заимствуются принцип и некоторые элементы старой конструкции. Заменяются большинство деталей, приспосабливаемых для нужд нового языка. В каждом случае это – потрясающе интересная история, начиная от первых образцов заимствования, за которыми следуют масса исправлений, приспособлений и окончательных вариантов (окончательных ли?). В каждом случае создается своя особая семиотическая система.

 

Натуральный ряд чисел

 

Во-первых, следует обратить внимание на то, что натуральный ряд чисел в том виде, в котором он обычно предстает сегодня, был создан значительно позже алфавитного письма. Выше была ссылка на VI век до н. э. как на время создания первого алфавита (по другим данным семитский алфавит появился еще в  XII веке до н. э.). Понятно, что это весьма приблизительные даты, но бесспорно, что первые алфавиты были созданы задолго до новой эры. Понятие числа, может быть, возникло еще раньше, но записи чисел в разных системах счисления и в различной интерпретации появились только тогда, когда письменные языки прочно укоренились в некоторых национальных культурах.

Естественно, что первые фиксации чисел появились в виде языковых записей. Я не касаюсь здесь фиксации чисел в виде предметов, образов, жестов и прочего; меня интересует возникновение цифровых систем записи чисел. Сначала они записывались в виде слов, поскольку такие слова существовали в устной речи, а само понятие числа уже было отработано. В разных языках существовали слова для ‘один’, ‘два’, ‘три’ и т. д.; ‘первый’, ‘второй’, ‘третий’…, ‘последний’; ‘много’, ‘половина’, ‘треть’ и пр. Но это было лишь первым приближением к системам счета. С помощью слов можно было обозначить число (‘один’, ‘два’, ‘половина’, ‘четверть’), дать количественную характеристику объекту (‘первый’, ‘второй’, ‘последний’), но невозможно было проводить вычисления в том понимании, какое мы вкладываем в это слово сегодня. Для этого, кроме слов, требовалось что-то иное.

Вы уже догадались, к чему перешли потом? Совершенно верно, к обозначению чисел буквами, поскольку буквы были хорошо известны. Первой буквой алфавита обозначали число ‘один’, второй – ‘два’ и т.д. По-видимому, греки были первыми, кто додумался до такого обозначения. В Древней Греции было несколько разных алфавитов, как для отдельных территорий, так и в хронологическом плане. Имеются сведения, что евреи заимствовали систему записи чисел буквами у греков, зато именно у евреев она приобрела почти мистическое значение и оформилась в гематрию. Ею пользуются люди, знающие иврит, еще и в наше время. Из Греции система записи чисел буквами пришла и на Русь, конечно, после того как в IX веке н. э. была изобретена древнеславянская письменность. Вот как выглядела запись чисел буквами на Руси:

 

 

 

Записывались числа, начиная с больших значений и заканчиваясь меньшими, слева направо. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то его пропускали, то есть знака для нуля не было. И это происходило уже в IX веке.

Особым образом записывались числа второго десятка:

 

 

Читаем дословно "четырнадцать" – "четыре на десять". Как слышим, так и пишем: не 10+4, а 4+10, – четыре на десять. И так для всех чисел от 11 до 19. Таким образом, в этой записи у славян мы прослеживаем порядок десятеричной системы счисления. Запись числа, использованная славянами, – добавочная, то есть в ней используется только сложение:

 

 

 

Для того чтобы не перепутать буквы и цифры, использовались титла – горизонтальные черточки над числами, что мы видим на рисунке. Для обозначения больших, чем 900 чисел использовались специальные значки, добавляемые к букве. Так образовывались числительные: “Тысяща” = 1 000, “Леон” = 10 000, “Одр” = 100 000, “Вран” (ворон) = 1 000 000, “Колода” =­ 10 000 000, “Тьма” ­= 100 000 000.

Пользуясь такой системой можно не только записывать числа, но достаточно быстро считать, хотя только немногие правила действий с ней дошли до нас. Из книги Аполлония (великого греческого математика) под названием “Окитокнон” (при­мер­ный перевод – ‘Быстросчётчик’) сохранились лишь отдельные страницы.

Математикам, однако, удавалось производить с помощью приведенной записи сложные расчеты. Повсеместное применение десятеричной системы совершенно вытеснило близкое знакомство с другими системами счисления.

Но до десятеричной системы было еще очень далеко. Задолго до нее во многих странах пытались и дальше приспосабливать буквы для счета. Особое место в этом ряду занимают римские цифры. Они явно «выросли» из латинских букв. Вот значки для записи чисел по римской нумерации, хотя, справедливости ради следует указать, что вначале все эти значки выглядели иначе:

для начальных единиц – I;

для пятерки – V;

для десятки – X;

для пятидесяти – L;

для сотни – C (от centrum = сто);

для пятисот – D (от demimille = полтысячи);

для тысячи – M (от mille = тысяча).

По крайней мере, для больших цифр ясно, что их обозначение строилось на звуковой основе слов, их называвших. Первая буква этих слов использовалась для написания цифр и произносилась полным словом. Что касается самой системы записи чисел, то она легко запоминалась (именно по указанной выше причине), но для расчетов была крайне неудобна. Известна жалоба Цицерона в одном из его сочинений, что римские школы плохо обучают молодежь арифметике (как нам это знакомо!). До пяти они еще умеют делать расчеты, а исчисления с цифрами свыше пяти приходится делать на абаке. На самом деле причина крылась в несовершенстве принятой системы счисления, которая, тем не менее, продержалась в самой Италии до XIII века, а в некоторых других европейских странах даже до XVI века. Зародилась же она еще до новой эры; прикиньте, сколько времени она продержалась. Остатками ее мы пользуемся до сих пор, если хотим написать некоторые цифры в иной, а не десятеричной системе арабских цифр (взгляните в предыдущем предложении на обозначение столетий). Позиционная система счисления оказалась намного удобней и проще именно для вычислений, хотя внедрялась она в практику с большим трудом (сила привычки!).

Выше был упомянут абак. Это – тот «золотой ключик», который открыл дверь для десятеричной системы счисления. Как ребус дал толчок изобретению алфавитной системы письма, так абак соединил непозиционные системы счета с позиционными. В абаке не требуется нуля, отсутствие которого задержало на несколько веков внедрение десятеричной системы. В абаке каждая новая позиция овеществлена в виде более высоко расположенной линии или полочки, где и производятся расчеты. Набрал пять или десять фишек (в зависимости от устройства абака), и ты автоматически отщелкиваешь фишку на следующей позиции и продолжаешь считать. Если ничего не надо отмечать на данной позиции (т. е. там должен стоять ноль), ты пропускаешь ее и переходишь на следующую позицию. Иначе говоря, ноль в абаке овеществлен в виде пропущенного места. Поэтому этот инструмент так прост в обращении.

Абак постоянно использовали для практических расчетов. В России он реализовался в виде счéтов (“русские счеты”), которыми до сих пор пользуются в отдаленных местностях на периферии страны. В той или иной форме он использовался во многих государствах. Он же, по-видимому, подсказал необходимость введения нуля на тех позициях, где отсутствовала какая-то иная цифра. После этого запись в десятичной системе оказалась такой простой, что и сам абак стал не нужен. Думается, что следует искать наличие такого “ускорителя” в изобретении любой  семиотической схемы более высокой по степени абстракции, нежели ранее существовавшая. Необходимость введения более абстрактной систе­мы следует рассматривать вовсе не только с точки зрения величины и экономичности ее знаков, но, прежде всего в том, как она реализует обработку своих знаков. Римские цифры были не только менее удобными для записи чисел (хотя и в этом они уступали арабским цифрам), но они явно буксовали в записи трансформаций знаков, в выведении правил действий с ними.

Это последнее положение является для меня нитью Ариадны при объяснении появления все более абстрактных знаковых систем.

Остается добавить несколько фактов по поводу внедрения арабских цифр. Уже в VII столетии нашей эры десятеричная система была известна индийским математикам. Позиционные записи чисел, а именно календарных годичных дат (без знака нуля), встречаются в Индии, по крайней мере, с VI века. Первое отчетливое обозначение нуля встречается на стенной надписи в городе Гвалиор, недалеко от Дели, и относится к 876 году н.э. В этой надписи все числа обозначены почти современной десятеричной записью, а ноль стоит в конце числа 270 и выглядит совсем как сегодня, разве что он немного меньше остальных цифр.

От индусов эту систему восприняли арабы; они называли эти цифры “индийскими”. Мы их называем “арабскими цифрами”, потому что их привезли в Европу арабы. Арабы завоевали тогда часть Европы и имели с ней обширные торговые связи. Они также имели разветвленные торговые связи с Востоком, в частности с Индией. Одним из первых арабоязычных математиков, освоившим позиционную систему и написавшим о ней книгу (ее перевели потом на европейские языки), был Мухаммед ал-Хорезми, “родом из Хорезма” (VIII-IX века). Он писал: «Если не остается ничего, то пишут маленький кружок, чтобы место не оставалось пустым. Этот кружок должен занять место, в противном случае у нас будет меньше разрядов и второй, например, разряд мы сможем счесть за первый».

«С начала XIII века в Западной Европе существовали рядом две системы изложения арифметики: одна – при помощи абака, другая – посредством индийской нумерации<…> В итальянских городах, а затем и в других европейских странах развилась оживленная торговля со странами Востока. Купеческие круги в этих городах стали задавать тон жизни. Купцы оценили преимущества той арифметики, которой пользовались арабские купцы. Каждый торговый город заводит своего “учителя арифметики” (Rechenmeister), который обучает работников торговых заведений индийско-арабской арифметике. Эти-то рехенмейстеры – мастера счисления – и обеспечили победу новой арифметике и ее основе – позиционной системе счисления».[3]

В России первые книги с упоминанием десятеричной системы и с использованием ее для вычислений появились в XVII веке. До этого считали по старой системе, основанной на буквах алфавита. Только при Петре I десятеричная система заняла ведущее место, вытеснив прежнее счисление. Особое значение для пропаганды и распространения десятеричной системы имела «Арифметика» Леонтия Магницкого, вышедшая в свет в 1703 году.

«Арифметика» напечатана славянским шрифтом, но с индийскими цифрами (они назывались тогда “цифирными числами”). Индийские цифры используются в кни­ге для всех расчетов. Л. Магницкий писал в “Пределении первом” (первое определение): «Нумерация есть счисление (называние словами) всех чисел, которые изображаемы быть могут десятью такими знаками: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Из них девять значащих, последняя же 0 (которая “цифрою” или “ничем”  именуется), если стоит одна, то сама по себе значения не имеет. Когда же она присоединяется к какой-нибудь значащей цифре, то увеличивает обозначенное число в десять раз…».[4]

 

 Записи алгебраических уравнений

 

«Предметом алгебры является изучение уравнений и ряда вопросов, которые развились из теории уравнений. В настоящее время, когда математика разделилась на ряд специальных областей, к области алгебры относят лишь уравнения определенного типа, так называемые алгебраические уравнения.

Истоки алгебры восходят к глубокой древности. Уже около 4000 лет назад вавилонские ученые владели решением квадратного уравнения и решали системы двух уравнений, из которых одно – второй степени. С помощью таких уравнений решались разнообразные задачи землемерия, строительного искусства и военного дела. Буквенные обозначения, применяемые нами в алгебре, вавилонянами не употреблялись; уравнения записывались в словесной форме (sic! – А.С.).

Первые сокращенные обозначения для неизвестных величин встречаются у древнегреческого математика Диофанта (II-III вв. н. э.). Неизвестное Диофант именует "аритмос" (число), вторую степень неизвестного "дюнамис" (это слово имеет много значений: сила, могущество, имущество, степень и др.). Третью степень Диофант называет "кюбос" (куб), четвертую – "дюнамодюнамис", пятую – "дюнамокюбос", шестую – "кюбокюбос". Эти величины он обозначает первыми буквами соостветствующих наименований (ар, дю, кю, ддю, дкю, ккю). Известные числа для отличия от неизвестных сопровождаются обозначением "мо" (‘монас’ – единица). Сложение не обозначается совсем, для вычитания имеется сокращенное обозначение, равенство обозначается "ис" (‘исос’ – равный)».

«У индийских авторов алгебраические вопросы излагались в астрономических сочинениях; самостоятельной дисциплиной алгебра становится у ученых, писавших на международном языке мусульманского мира – арабском. Основоположником алгебры, как особой науки, нужно считать среднеазиатского ученого Мухаммеда из Хорезма, известного под арабским прозвищем аль-Хваризми (Хорезмианец). Его алгебраический труд, составленный в IX веке н. э., носит название "Книга восстановления и противопоставления". ‘Восстановлением’ Мухаммед называет перенос вычитаемого из одной части уравнения в другую, где оно становится слагаемым; ‘противопоставлением’ – собирание неизвестных в одну сторону уравнения, а известных – в другую сторону. На арабском ‘восстановление’ называется ‘ал-джебр’. Отсюда и название ‘алгебра <…>

В XII веке "Алгебра" аль-Хваризми стала известна в Европе и была переведена на латинский язык. С этого самого времени начинается развитие алгебры в европейских странах (сначала под сильным влиянием науки восточных народов). Появляются сокращенные обозначения неизвестных, решается ряд новых задач, связанных с потребностями торговли. Но существенного сдвига не было до XVI века. В первой трети XVI века итальянцы дель-Ферро и Тарталья нашли правила для решения кубических уравнений вида x3 = px+q; x3+px = q; x3 +q = px, а Кардано в 1545 г. показал, что всякое кубическое уравнение сводится к одному из этих трех; в это же время Феррари, ученик Кардано, нашел решение уравнения четвертой степени <…>

Сложность правил для решения этих уравнений сделала необходимым усовершенствование обозначений. Это совершалось постепенно в течение целого столетия. В конце XVI века французский математик Виетá ввел буквенные обозначения, и притом не только для неизвестных, но и для известных величин (неизвестные обозначались заглавными гласными буквами, известные – заглавными согласными). Были введены сокращенные обозначения действий; у разных авторов они имели разный вид. В середине XVII века алгебраическая символика благодаря французскому ученому Ренé Декарту (1596-1650) приобретает вид очень близкий к нынешней».[5]

Такова краткая история происхождения алгебраических значков. Чем же была вызвана необходимость создания новой системы знаков? Тем, что они должны были выражать категории более высокой степени абстракции, нежели арифметические конструкты. Ученые интуитивно это поняли с самого начала, хотя по привычке обратились в поисках новых знаков к словам (смотрите выше пример с Диофантом). Но их тут же начали сокращать, придерживаясь фонетического принципа (по сокращению можно было узнать, из какого слова оно взято); а потом остановились на совершенно произвольных изображениях, не имевших к словам абсолютно никакого отношения. В конце концов, была принята система букв из латинского алфавита (как алфавита, на котором писались ученые трактаты в Средние века). Неизвестные обозначались буквами из середины алфавита – p, q, r  и из конца его – x, y, z. Известные – остальными буквами. Синтаксические значки были полностью заимствованы из арифметики (например, = и знаки арифметических действий). Сами действия записывались в виде уравнений, поэтому алгебру и стали называть математикой уравнений.

Самое важное для нашего анализа заключается в том, что среди значков появляются значки для неизвестных (в моей интерпретации – переменных знаков). Думается, что нет необходимости доказывать, что алгебраический знак для неизвестного, подразумевающий любое количество, более абстрактен по своему содержанию, чем знак, обозначающий некоторое определенное, хотя еще и неизвестное количество. Поэтому мы с полным основанием могли бы назвать алгебру наукой по отысканию количественных значений неизвестных, а арифметику – наукой по уточнению значений включенных в задачу определенных количеств.

Поэтому же арифметические задачи сводятся в основном к алгоритмам типа 25 + 7 = …, а алгебраические – к уравнениям типа 25х + 12 = 87 (найти х). В первом примере мы ищем результат сложения двух промежуточных знаков для нахождения третьего (тоже промежуточного) результата. Промежуточный результат арифметического преобразования получает реальное наполнение, преобразуясь в именованные числа (32 кг., 32 км…). Переменный во втором примере становится числом 3, т. е. промежуточным знаком, который потом тоже может получить наименование и превратиться в полностью знаменательный знак. Итак, в первом случае вступает в строй двухступенчатая процедура исключения абстракций, а во втором – либо двух- , либо трехступенчатая трансформация. Математические операции в обоих случаях совпадают, но в алгебре прибавляется операция переноса частей преобразования из одной части уравнения в другую с изменением плюса на минус и наоборот.

Имеется еще один показатель, что эти две системы существенно отличаются по основным характеристикам, и это – методы проверки системных операций, методы верификаций их действий. В арифметике – это обычно зеркально противоположные действия: для сложения – вычитание (и обратно); для умножения - деление; для возведения в степень – извлечение корня и пр. В алгебре – это обычная  подстановка численного значения вместо переменного знака, что должно решать предложенное уравнение. Мы увидим, что в следующей системе, которую мы немедленно рассмотрим, методы верификации будут принципиально отличными.

 

Знаки в математической (символической) логике

 

 Сначала логика оформлялась как формализованная система в языковом воплощении (Аристотель). Но и там некоторые элементы силлогизма с самого начала объяснялись как переменные знаки, да так и назывались. Постепенно эти элементы воспринимались все более формализовано и отдаленно от обозначаемых ими величин – как некие абстрактные сущности. Менялось и их обозначение. В XIX-XX вв. они окончательно получили статус переменных знаков в системе логических построений, а сами системы получили аккредитацию как наиболее абстрактные средства обработки переменных знаков. В работах Буля и Кантора была создана основа математической логики; в работах Фреге и Пеано она получила дальнейшее развитие, а главное – свою символику. Это уже не переменные в алгебре; это – переменные куда более абстрактные по своей консистенции. Алгебраические переменные годились только для математических расчетов; логические – для создания постулатов  и их применения в различных областях знания.

Такое качественное различие систем требовало иной символики, как для самих  переменных знаков, так и для обозначения синтаксических связей между ними. Основным понятием новой системы стало понятие множества. Сами множества обозначаются заглавными буквами латинского алфавита; их отдельные члены – строчными буквами того же алфавита. В каждом случае требуется решить, в каком соотношении находятся множества между собой, и к какому множеству принадлежит тот или иной объект. Более общей задачей на трех уровнях (множеств, подмножеств и отдельных знаков) является выяснение истинности или ложности логических построений. Причем, как истинность так и ложность рассматриваются в чисто логическом аспекте, а не в плане реалистическом. Построение признается истинным, если оно правильно обосновано с точки зрения его логического обоснования, и ложным, если оно не отвечает требованиям построениям логических аргументов и выводов. Это – структурная истинность и ложность, а не онтологически оправданная и верифицируемая по правилам жизненных реалий.

Чтобы придти к верификации с помощью реальных критериев, требуется спуститься на грешную Землю и избавиться от абстракций. Исключение абстракций – принятая в символической логике процедура, обеспеченная специальными значками и операциями. Но самое главное заключалось в том, что действия с множествами потребовали совершенно иных операций и методов. Следовало выяснить, каким образом сочетаются множества: путем включения (целиком или полностью), пересечения и т. д. Для каждого случая были придуманы свои термины и их логические обозначения. Они не совпадали ни со словесными аналогичными обозначениями, ни с чисто математическими. Значок U, например, обозначает операцию дизъюнкции, которая близка к арифметической операции сложения, но в логике имеет иное содержание. А значок обозначает операцию конъюнкции, что в определенном смысле соответствует объединительному союзу ‘и в языковом исполнении, но тоже имеет свое специфическое логическое содержание. Выражение p q называется конъюнкцией высказываний р и q.

Имеются в логике и свои собственные значки, не имеющие аналогов в предшествующих системах, о которых мы говорили ранее. Например, стрелка    называется импликацией или условной связкой. Она по содержанию призвана показывать зависимость вывода (консеквента в языке логики) от условия (антицендента). Выражение p q означает условное высказывание с антецендентом (р) и консеквентом q. Используются и так называемые кванторы (логические операторы), которые указывают на количественную сочетаемость одного множества с другим.  Квантор   является показателем универсальности или всеобщности. Выражение х означает, что оно истинно для всех значений х. Значок  - это перевернутое латинское А, первая буква немецкого слова alle (все) либо английского слова all. Квантор означает некоторые элементы множества, и он противостоит квантору всеобщности. Сам символ – это перевернутое Е из латинского алфавита, первая буква слов existieren (немецкого “существовать”) или английского “exist”. Символы кванторов интересны для нас тем, что они заимствованы из действу­ющих алфавитов и опираются на значения реально существующих слов.

Верификация операций в символической логике производится с помощью матричных «таблиц истинности», которые выносят окончательный приговор полученному выражению – истинно оно либо ложно. Это единственное, что требуется доказать. После признания того или иного вывода истинным, его можно использовать в практических приложениях. Для чего требуется перевести его в практически применимый вид с помощью «исключения абстракций» и замены их на конкретные понятия и величины. «Таблицы истинности» разработаны для каждой отдельной логической операции. Никаким иным способом верифицировать правильность логических операций невозможно, да и незачем.

Я, разумеется, не смогу продемонстрировать все значки символической логики, но в этом нет необходимости. Целью моей краткой презентации было показать, что создатели логической символики первоначально обращались к уже знакомым системам записи, пытаясь каким-то образом связать абстрактные сущности с какими либо известными образцами. Затем, убедившись, что в этом нет необходимости, что любой знак поддерживается возникающей заново знаковой схемой, они начинают полагаться только на нее, закрепляя за новым знаком место, заготовленное  для него этой схемой. Так, обозначение переменных хотя и закреплено за буквами латинского алфавита, но ограничено специфическими буквами – р, q, r. Что касается синтаксических знаков системы, то они чисто произвольны и предпочтительно, чтобы они не использовались в других системах получения нового знания. В этом свете становится ясным, что претензии А. Пуанкаре по поводу значка כ явно не обоснованы. Слишком значимой оказалась вновь изобретенная система математической логики, чтобы остаться без своей системы знаков, отличающих ее от других систем. Слишком большие требования предъявлялись к точному определению ее понятий, чтобы разбавлять символы старыми значками. В пользу великого француза говорит лишь то, что его высказывание относится к самому начальному периоду создания символической логики, когда и роль этой науки, и ее конкретные детали еще были скрыты от взоров даже выдающихся людей.

Это не только мои частные выводы, но господствующая ныне точка зрения ученых логиков. Приведу лишь два примера из сотен отчетливо выраженных мнений по этому поводу. Первый пример сравнивает два языка – язык формальной логики, который мы кратко описали выше, и естественный язык, которым мы пользуемся в повседневном общении. Вот как выглядит такое сравнение:

«С чем же связано наличие собственного языка логики как науки? Дело в том, что естественному языку присущи некоторые недостатки, которые не позволяют логике ограничиваться его использованием.

Основными недостатками естественного языка являются:

·         изменение значения слов с развитием общественной практики и по истечении определенного времени;

·         многозначность некоторых слов;

·         расплывчатость, неопределенность отдельных слов, не позволяющая с их помощью определить предмет науки;

·         несовершенство правил построения выражений, которое в логическом смысле несет на себе печать многозначности понимания вербальной мысли;

·         деление естественного языка на большое количество языков разных стран и народов, в результате чего одна и та же мысль может быть оформлена различными языками.

Формальная логика пытается искоренить данные недостатки в своем языке. Это достигается на основе введения специальных символов. Внутри формальной логики операции с мыслями заменяются действиями с символами».[6]  

Второе высказывание принадлежит К. К. Жолю, украинскому логику и философу, книгой которого по символической логике я постоянно пользуюсь:

«Введение особого формализованного языка (в логику – А.С.) означает и принятие особой теории, особой системы логического анализа. В этом смысле формализованный язык не является каким-то выдуманным заменителем слов и предложений естественного языка. Разумеется, поскольку мы все-таки люди, а не пришельцы из космоса, то наш хотя и формализованный, но служащий человеку искусственный язык пытается копировать обычный язык, обставляя это массой различных и совершенно неизбежных оговорок. <…>

Характерно, что современная формальная логика называется еще символической логикой, так как в ней повсеместно используются точно определенные логические символы, значительно облегчающие многие логические процедуры. Использование символов обнаруживает родство формальной логики, зародившейся в недрах философии, с математикой. Это родство касается способов правильных выводов (умозаключений) в логике и математике. Символическая логика, проникая в сферу математических рассуждений, принимает вид математической логики, в основе которой лежат теоретико-множественные понятия».[7]     

Вот почему принятие особых символов в логике хотя и копирует прежде существовавшие знаки, но придает им специфическое значение, приспособленное к интересам новой высоко абстрактной системы математической логики.

 

Август 2006

 

 


 


[1]  Привожу дословную цитату из Пуанкаре, взятую из собрания его трудов на английском языке:

     “It is difficult to see that the word if acquires, when written כ, a virtue it did not possess when 

     written if”. Poincaré H Science and Method. New York, Dover, 1952, chapter 3.

[2]  Кругосвет. Северно-семитская ветвь письменности.

       В: http://www.krugosvet.ru/articles/97/1009738/1009738a3.htm (Август 2006).

[3]  Депман И.Я. История арифметики. Москва, Просвещение, 1965, с. 94.

[4]  Там же, с. 99-100.

[5]  В: http://mathem.h1.ru/algebra.html (Август 2006)

 [7]  Жоль К.К. Логика в лицах и символах. Москва, Педагогика-Пресс, 1993, с. 86-87.

Навигация

Главная
Сайт
"Критика"
Сайт ЛВ
Гостевая
Контакт